橢圓的周長(cháng)公式推導_橢圓的周長(cháng)公式

1、橢圓周長(cháng)的通用公式

2、【公式說(shuō)明】公式中，t為橢圓系數，系數t的值可由r/R的值查表得到；r是橢圓的短半徑，r是橢圓的長(cháng)半徑。

3、簡(jiǎn)介

【資料圖】

4、a是橢圓的長(cháng)半軸，e是橢圓的偏心率。

5、橢圓周長(cháng)的理論公式是存在的，但不能用初等函數表示。它是一個(gè)與偏心率有關(guān)的無(wú)窮收斂級數。這個(gè)公式包括了正圓的周長(cháng)。從某種意義上說(shuō)，正圓是一種特殊的橢圓，也就是說(shuō)，正圓是一種長(cháng)短軸相等的橢圓。

6、公式的推導是利用曲線(xiàn)長(cháng)積分，同時(shí)關(guān)鍵步驟是利用牛頓二項式定理將橢圓積分展開(kāi)成以sin為變量的級數，然后用積分求解，如圖。

7、演繹過(guò)程

8、首先，建立橢圓參數方程：

9、x=a SIN

10、y=bcos

11、根據曲線(xiàn)長(cháng)度積分方程：

12、u=y

13、將橢圓方程代入上述公式：

14、(1) L=4a

15、而

16、得出公式(1)由牛頓二項式定理展開(kāi)，然后逐項積分。

17、求解完成(這個(gè)公式是a=b帶入后的圓周長(cháng)公式，e=1時(shí)L=a)。

18、由此我們可以得到圓周率的另一個(gè)公式：

本文到此結束，希望對大家有所幫助。

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